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2020県立中適性検査I-1(1)の解説

2020年1月24日投稿

2020年度茨城県立中等教育学校適性検査の、大問1(1)の解説記事です。

 


 

(生徒の使った問題用紙をそのままコピーしています)
 


 
 
私が思いついた解法は3つです。
 
 
1.立体の面の構成を読み取って計算する
(多分これが正攻法)


図を見ると、正六角形を構成する辺は、3本が隣の六角形と接して、残り3本が正五角形と接しています。
つまり、正五角形の辺3本につき、正六角形が1枚できる、と考えることができます。
正五角形は12枚ですので、その辺の総数は、
12×5=60
この60本の辺で、3本につき1枚の六角形が作られるので、
60÷3=20
よって20枚。


 
 
2.多面体についての知識から解く
(数学マニアな小学生なら知っているかもしれない)


サッカーボールの形は、切頂正二十面体と呼ばれていまして、正二十面体の頂点を切り落とした形です。
正二十面体の頂点は、正三角形5枚から構成されていますので、それを切ると正五角形の断面ができます。
切る深さを調整して、角を落とされた正三角形の各面が正六角形になるようにすれば、いわゆるサッカーボール型ができます。
問題文の通り、正五角形が12枚なのは、正二十面体の頂点が12個だからです。
そして正六角形の面は、もとは正二十面体の面なのですから、そのまま20枚となります。


 
 
3.絵を見て数える


今回の問題にある、手に持ったサッカーボールのイラスト(図1)は、手で隠れている部分を推測すれば、白い面が10枚あると数えられます。
反対側からも同じものが見えるとすれば、
10×2=20
以上。
 

ズルかと思われるでしょうが、問題文をよく読むと、今回の問題は「数を書きなさい」であって、考え方の説明は不要だということがわかります。
つまり、答えの数値さえ出ればそれでいいのです。
何が何でも答えを出す、という気概があるなら、私はこういう解法も否定しません。
おそらく、図1だけではすぐに数えられてしまうので、それを惑わせるために図2が追加されたのでしょう。
よくできた問題だと思います。


 
 
さて、そんな話を古河中等の生徒としていたら、もう一つ解法があると言われました。
 
4.オイラーの多面体定理を使う
(多分小学生は知らないかと……)
 
この定理を使うためには辺の数と頂点の数が必要なのですが、図を見れば辺の数も確かに計算できそうです。
が、ちょっと飛び道具過ぎるので詳細は略します。
 
 
以上。
いかがでしょうか。
 
 
※参考までに、当塾生の反応
(全員に聞いたわけではありません)
・土浦一高3年は、2.の解法で解きました。
・竹園高3年は、1.の解法で解きました。
・古河中等4年(高1)は、2.で解いてから上記の通り4.を提案しました。
・普通の中学の中3は、解けませんでした。
・古河中等2年(中2)は、解けませんでした。
 
まあ、解けなくても大丈夫ですので。